Автори: Владислав Рашкован, заступник Виконавчого директора МВФ; Олексій Ігнатенко, доктор фізико-математичних наук, професор УКУ
Чемпіонат світу з футболу триває. На минулому тижні 32 команди завершили першу нокаут-серію. Дві гри дійшли до післяматчевих пенальті. Коментатори та вболівальники списали поразки Німеччини й Нідерландів на невезіння, назвавши пенальті лотереєю.
Стратегія пенальті в теорії ігор
Пенальті — це гра з нульовою сумою: виграш одного гравця означає поразку іншого. Нападник обирає напрямок і силу удару, воротар — куди стрибнути. Обидва вирішують одночасно, не знаючи рішення суперника. Усі комбінації зводять у матрицю виграшів. Якщо спростити до двох напрямків — ліворуч і праворуч, — таблиця має чотири клітинки. Коли напрямки збігаються, шанс гола падає до 65%. Коли не збігаються — зростає до 95%. Різниця в цих цифрах і визначає стратегію.
Оптимальна поведінка залежить не від власного ідеального ходу, а від передбачення суперника. Стан, коли жоден гравець не може покращити результат, змінивши лише свою стратегію, називається рівновагою Неша. У цій рівновазі немає єдиного правильного ходу, лише ймовірності вибору.
Як статистика підтверджує модель
Економісти Стівен Левітт, П’єр-Андре Шіаппорі, Ігнасіо Паласіос-Уерта та Тім Гроуслоуз аналізували тисячі пенальті в європейських лігах. Незалежно від напрямку, результативність залишалася близько 80%. Футболісти інтуїтивно досягли рівноваги Неша. Дослідження також показали: передбачуваність карається миттєво. Воротарі частіше помиляються, коли намагаються вгадати, а не залишаються на місці.
У серіях післяматчевих пенальті гра змінюється. Кожен наступний удар враховує попередні. Тиск наростає нерівномірно. Команда, яка б’є першою, виграє приблизно в 60% випадків. Тренери обирають порядок гравців, щоб зменшити психологічне навантаження на ключових етапах.
Клуби та збірні наймають аналітиків, які будують матриці ймовірностей для кожного суперника. Знання теорії не гарантує результат, але підвищує ймовірність успіху. Те, що сталося з Німеччиною та Нідерландами, — це не невезіння, а закономірний наслідок гри, де немає гарантованого виграшного ходу, лише ймовірності.
Церковний Юрій