Почему пенальти в футболе не лотерея: теория игр

Авторы: Владислав Рашкован, заместитель Исполнительного директора МВФ; Алексей Игнатенко, доктор физико-математических наук, профессор УКУ

Чемпионат мира по футболу продолжается. На прошлой неделе 32 команды завершили первую нокаут-серию. Две игры дошли до послематчевых пенальти. Комментаторы и болельщики списали поражения Германии и Нидерландов на невезение, назвав пенальти лотереей.

Стратегия пенальти в теории игр

Пенальти — это игра с нулевой суммой: выигрыш одного игрока означает поражение другого. Нападающий выбирает направление и силу удара, вратарь — куда прыгнуть. Оба решают одновременно, не зная решения соперника. Все комбинации сводят в матрицу выигрышей. Если упростить до двух направлений — влево и вправо, — таблица имеет четыре клетки. Когда направления совпадают, шанс гола падает до 65%. Когда не совпадают — растет до 95%. Разница в этих цифрах и определяет стратегию.

Оптимальное поведение зависит не от собственного идеального хода, а от предугадывания соперника. Состояние, когда ни один игрок не может улучшить результат, изменив лишь свою стратегию, называется равновесием Нэша. В этом равновесии нет единственно правильного хода, только вероятности выбора.

Как статистика подтверждает модель

Экономисты Стивен Левитт, Пьер-Андре Шиаппори, Игнасио Паласиос-Уэрта и Тим Гроуслоуз проанализировали тысячи пенальти в европейских лигах. Независимо от направления, результативность оставалась около 80%. Футболисты интуитивно достигли равновесия Нэша. Исследования также показали: предсказуемость наказывается мгновенно. Вратари чаще ошибаются, когда пытаются угадать, а не остаются на месте.

В сериях послематчевых пенальти игра меняется. Каждый следующий удар учитывает предыдущие. Давление нарастает неравномерно. Команда, бьющая первой, выигрывает примерно в 60% случаев. Тренеры выбирают порядок игроков, чтобы снизить психологическую нагрузку на ключевых этапах.

Клубы и сборные нанимают аналитиков, которые строят матрицы вероятностей для каждого соперника. Знание теории не гарантирует результат, но повышает вероятность успеха. То, что произошло с Германией и Нидерландами, — это не невезение, а закономерный итог игры, где нет гарантированного выигрышного хода, только вероятности.